| Summary: | One deals in this work with the existence and the uniqueness of natural projectively equivariant quantizations by means of the theory of Cartan connections.
One shows that a natural projectively equivariant quantization exists for differential operators acting between $lambda$ and $mu$-densities if and only if the corresponding $sl(m+1,mathbb{R})$-equivariant quantization on $mathbb{R}^{m}$ exists. With this end in view, one writes the quantization by means of a formula in terms of the normal Cartan connection associated to the projective structure of a connection.
One deduces next an explicit formula for the natural projectively equivariant quantization.
One shows the non-uniqueness of such a quantization by means of the curvature of the normal Cartan connection.
Finally, one shows the existence of natural and projectively equivariant quantizations for differential operators acting between sections of other natural fiber bundles transposing the method used in $mathbb{R}^{m}$ to analyse the existence of $sl(m+1,mathbb{R})$-equivariant quantizations, this method being linked to the Casimir operator./
On traite dans cet ouvrage de l'existence et de l'unicité de quantifications naturelles projectivement équivariantes au moyen de la théorie des connexions de Cartan.
On démontre qu'une quantification naturelle projectivement équivariante existe pour des opérateurs différentiels
agissant entre $lambda$ et $mu$-densités si et seulement si la quantification $sl(m+1,mathbb{R})$- équivariante correspondante sur $mathbb{R}^{m}$ existe. Pour cela, on exprime la quantification au moyen d'une formule en termes de la connexion de Cartan normale associée à la structure projective d'une connexion.
On en déduit ensuite une formule explicite pour la quantification naturelle projectivement invariante.
On démontre après la non-unicité d'une telle quantification par le biais de la courbure de la connexion de Cartan normale.
Enfin, on démontre l'existence de quantifications naturelles projectivement équivariantes pour des opérateurs différentiels agissant entre sections d'autres fibrés naturels en transposant la méthode utilisée dans $mathbb{R}^{m}$ pour analyser l'existence de quantifications
$sl(m+1,mathbb{R})$-équivariantes, méthode liée à l'opérateur de Casimir.
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