’n Terugblik op die Quillen-Suslin-stelling en die huidige status van die Bass-Quillen-vermoede

• Main Authors: A. A. Lemmer, G. Naudé
• Format: Article
• Language: Afrikaans
• Published: South African Journal of Science and Technology 1989-03-01
• Series: South African Journal of Science and Technology
• Online Access: http://www.satnt.ac.za/index.php/satnt/article/view/859
• ISSN: 0254-3486; 2222-4173

In sy beroemde FAC-artikel het J.P. Serre die vraag geopper of alle eindigvoortgebringde projektiewe module oor K[X₁,...,X_n] (K ’n liggaam) vry is of nie. Die probleem het spoedig in die wiskundegemeenskap bekend gestaan as “Serre se vermoede” en is in 1976 onafhanklik deur A.A. Suslin en D. Quillen bewys. Verwante belangrike ontwikkelinge het veral uit die idees in Quillen se bewys gevolg. In hierdie artikel bespreek ons die meetkundige motivering van die oorspronklike probleem, asook enkele aspekte van Quillen se bewys. Daarna word aandag gegee aan van die belangrikste verdere ontwikkelinge, onder meer ’n bewys dat eindigvoortgebringde projektiewe module oor R [X₁,...,X_n], R ’n Bezout-gebied, vry is. Ons gee ook aandag aan nuwe resultate oor die bestaan van vry sommande in projektiewe module. Die werk gee in die geval van polinoomringe ’n aansienlike verskerping van Serre se beroemde vryesommandstelling: A s R ’n Noetherse ring is en P is ’n eindigvoortgebringde projektiewe R-moduul met rang P > dim R, dan besit P ’n vry, rangeensommand. Ten slotte bespreek ons die huidige stand van die belangrikste oop probleem in diegebied, naamlik die Bass- Quillen-vermoede: As R ’n regulier-lokale ring is, is alle eindigvoortgebringde projektiewe R[X₁,...,X_n]-module vry?