General existence principles for nonlocal boundary value problems with <mml:math alttext="$PHI$"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math>-laplacian and their applications
<p>The paper presents general existence principles which can be used for a large class of nonlocal boundary value problems of the form <mml:math alttext="$(phi(x'))'=f_1(t,x,x')+f_2(t,x,x')F_1x+f_3(t,x,x')F_2x$,$alpha(x)=0$"> <mml:mro...
| Format: | Article |
|---|---|
| Language: | English |
| Published: |
Hindawi Limited
2006-01-01
|
| Series: | Abstract and Applied Analysis |
| Online Access: | http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/AAA/2006/96826 |
| Summary: | <p>The paper presents general existence principles which can be used for a large class of nonlocal boundary value problems of the form <mml:math alttext="$(phi(x'))'=f_1(t,x,x')+f_2(t,x,x')F_1x+f_3(t,x,x')F_2x$,$alpha(x)=0$"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math>, <mml:math alttext="$eta(x)=0$"> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math>, where <mml:math alttext="$f_j$"> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> satisfy local Carathéodory conditions on some <mml:math alttext="$[0,T]imesmathcal{D}_jsubset R^2$"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝒟</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math>, <mml:math alttext="$f_j$"> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> are either regular or have singularities in their phase variables <mml:math alttext="$(j=1,2,3)$"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>, <mml:math alttext="$F_i: C^1[0,T] ightarrow C^0[0,T]$ $(i=1,2)$"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math>, and <mml:math alttext="$alpha,eta:C^1[0,T] ightarrowR$"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>ℝ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are continuous. The proofs are based on the Leray-Schauder degree theory and use regularization and sequential techniques. Applications of general existence principles to singular BVPs are given.</p> |
|---|---|
| ISSN: | 1085-3375 |