On the existence of Levi Foliations

• Main Author: RENATA N. OSTWALD
• Format: Article
• Language: English
• Published: Academia Brasileira de Ciências 2001-03-01
• Series: Anais da Academia Brasileira de Ciências
• Subjects: folheações de Levi; folheações holomorfas; singularidades; variedades de Levi; Levi foliations; holomorphic foliations; singularities; Levi varieties
• Online Access: http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0001-37652001000100002

Let L <img src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059c.gif"> <img src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059c2.gif"> be a real 3 dimensional analytic variety. For each regular point p <img src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059e.gif"> L there exists a unique complex line l p on the space tangent to L at p. When the field of complex line p <img ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img4.gif" ALT="$displaystyle mapsto$"> l p is completely integrable, we say that L is Levi variety. More generally; let L <img src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059c.gif"> M be a real subvariety in an holomorphic complex variety M. If there exists a real 2 dimensional integrable distribution on L which is invariant by the holomorphic structure J induced by M, we say that L is a Levi variety. We shall prove: Theorem. Let <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ cal {L}$"> be a Levi foliation and let <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ cal {F}$"> be the induced holomorphic foliation. Then, <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ cal {F}$"> admits a Liouvillian first integral. In other words, if <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ cal {L}$"> is a 3 dimensional analytic foliation such that the induced complex distribution defines an holomorphic foliation <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ cal {F}$">; that is, if <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ cal {L}$"> is a Levi foliation; then <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ cal {F}$"> admits a Liouvillian first integral--a function which can be constructed by the composition of rational functions, exponentiation, integration, and algebraic functions (Singer 1992). For example, if f is an holomorphic function and if theta is real a 1-form on <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img8.gif" ALT="$ mathbb {R}$">; then the pull-back of theta by f defines a Levi foliation <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ cal {L}$"> : f*theta = 0 which is tangent to the holomorphic foliation <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ cal {F}$"> : df = 0. This problem was proposed by D. Cerveau in a meeting (see Fernandez 1997).<br>Seja L <FONT FACE="Symbol">Ì</FONT> <img src="http:/img/fbpe/aabc/73n1/0059c2.gif"> uma variedade real de dimensão 3. Para todo ponto regular p <FONT FACE="Symbol">Î</FONT> L existe uma única reta complexa l p no espaço tangente à L em p. Quando o campo de linhas complexas p <img ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img4.gif" ALT="$displaystyle mapsto$"> l p é completamente integrável, dizemos que L é uma variedade de Levi. Mais geralmente, seja L <FONT FACE="Symbol">Ì</FONT> M uma subvariedade real em uma variedade analítica complexa. Se existe uma distribuição real integrável de dimensão 2 em L que é invariante pela estrutura holomorfa J induzida pela variedade complexa M, dizemos que L é uma variedade de Levi. Vamos provar: Teorema. Seja <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ cal {L}$"> uma folheação de Levi e seja <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ cal {F}$"> a folheação holomorfa induzida. Então <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ cal {F}$"> tem integral primeira Liouvilliana. Em outras palavras, se <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ cal {L}$"> é uma folheação real de dimensão 3 tal que a folheação holomorfa induzida define uma folheação holomorfa <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ cal {F}$">; isto é, se <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ cal {L}$"> é uma folheação de Levi; então <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ cal {F}$"> admite uma integral primeira Liouvilliana - uma função que pode ser construida por composição de funções rationais, exponenciações, integrações e funções racionais (Singer 1992). Por exemplo, se f é uma função holomorfa e se teta é uma 1-forma real em <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img8.gif" ALT="$ mathbb {R}$">²; então o pull-back de teta por f define uma folheação de Levi: <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ cal {L}$"> : f*teta = 0 a qual é tangente a folheação holomorfa <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ cal {F}$"> : df = 0. Este problema foi proposto por D. Cerveau em uma reunião (Fernandez 1997).